Kleber de Carvalho Coêlho nasceu em 9 de novembro de 1939, em Salvador, Bahia, filho de Cezar de Souza Coêlho e Noemi de Carvalho Coêlho. Casou-se, em 21 de setembro de 1974, com Teresinha de Oliveira, com quem teve dois filhos, Ricardo de Oliveira Coêlho e Gustavo de Oliveira Coêlho.

Antes de iniciar-se na carreira ministerial, serviu no Exército como oficial da reserva. Ingressou no Ministério Público Militar em 11 de setembro de 1972, designado primeiro substituto de procurador de 3ª categoria da Justiça Militar, posteriormente denominado substituto de procurador militar de 2ª categoria, perante a Auditoria da 6ª Circunscrição Judiciária Militar (CJM), onde já vinha atuando como jornalista, escrevendo sobre julgamentos para jornais de Salvador.

Em 12 de agosto de 1981, foi nomeado para cargo de procurador militar de 2ª categoria, depois de aprovado em concurso público. Em 30 de novembro de 1984, foi nomeado procurador militar de 1ª categoria. Em 6 de dezembro de 1985, em decorrência do Decreto Legislativo nº 31/85, retornou à situação de procurador militar de 2ª categoria. Em 7 de maio de 1986, foi promovido, por merecimento, a procurador militar de 1ª categoria.

Em 1º de junho de 1987, foi requisitado, em caráter excepcional, com ônus para a origem, pelo governo do Estado da Bahia, para exercer cargo de confiança, retornando ao MPM em 1º de março de 1989. Em 1º de fevereiro de 1991, foi designado para substituir Milton Menezes da Costa Filho, subprocurador-geral militar, em virtude de este se encontrar exercendo o cargo de procurador-geral de Justiça Militar. Em 14 de janeiro de 1992, foi dispensado da função e, em seguida, promovido a subprocurador-geral militar.

Em 13 de agosto de 1993, foi designado membro da Câmara de Coordenação e Revisão do MPM. Em 1º de março de 1994, foi nomeado para exercer as atribuições do cargo de corregedor-geral do MPM, em decorrência da incompatibilidade do exercício cumulativo do cargo de corregedor-geral e de procurador-geral por parte do titular.

Em maio de 1994, assumiu interinamente o cargo de procurador-geral de Justiça Militar e, de junho desse ano a dezembro de 1995, foi vice-procurador-geral de Justiça Militar.

Em 15 de março de 1996, foi nomeado procurador-geral de Justiça Militar, para mandato de dois anos, e reconduzido em 25 de março de 1998.

Durante sua gestão, foram realizadas várias obras para instalação e construção de sedes para as procuradorias de Justiça Militar nos estados: em 1996, PJM Santa Maria; em 1997, PJM Fortaleza; em 1998, PJM São Paulo, PJM Manaus, PJM Rio de Janeiro e PJM Salvador. Iniciou-se ainda a construção da sede própria da PJM Porto Alegre. Em 1999, a nova sede da PJM Bagé.

Como procurador-geral de Justiça Militar, determinou, em 1999, a reabertura do inquérito relativo à explosão de uma bomba no Riocentro, em 1981, um dos mais rumorosos casos julgados pela jurisdição no Brasil.

Proferiu diversas palestras e acompanhou o procurador-geral da República em algumas de suas missões internacionais que previam participações nas reuniões da Associação Interamericana do Ministério Público e na International Association of Prosecutors, como em uma viagem a Pequim, China, em 1999. Entre 19 e 27 de abril de 1998, chefiou comitiva a Luanda, com a finalidade de participar, como conferencista, do Seminário sobre Defesa Nacional, promovido pelo Ministério da Defesa Nacional da República de Angola.

Foi um dos principais entusiastas e articuladores do Acordo de Cooperação na área de Direito Penal e Militar e de Processo Penal Militar com a Angola, contribuindo para a formação de um laço de amizade entre juristas brasileiros e angolanos. Em fevereiro de 2000, integrou comitiva que visitou a Base da Marinha Brasileira na Antártida.

Foi membro, em duas ocasiões, da Comissão Organizadora dos concursos para provimento de cargo de promotor de Justiça Militar, em 1992 e em 1999.

Possui artigos de divulgação publicados no jornal A Tarde, de Salvador. Publicou cinco artigos na Revista de Direito Militar, um na Revista do Superior Tribunal Militar, além de artigos na MPM em revista.

Foi agraciado com diversas honrarias e comendas, como a Medalha do Mérito Tamandaré e a Medalha do Pacificador. Foi, ainda, admitido no Corpo de Graduados Especiais da Ordem do Mérito Militar, no Grau de Comendador, e admitido na Ordem do Mérito das Forças Armadas, no Grau de Oficial.

Faleceu em 8 de agosto de 2004, quando ainda estava no exercício de suas funções de subprocurador-geral de Justiça Militar.